完全星形二十面體：修订间差异

|1=zh-hant:约翰内斯;zh-tw:约翰尼斯;zh-hk:祖汉尼斯;zh-hans:约翰内斯;

|3=zh-cn:通过; zh-hk:通过; zh-tw:透过;

{{about|书籍《[[五十九种二十面体]]》中列出的第八个星形二十面体|书籍《多面體模型》中列出的第八个星形二十面体|第八星形二十面体}}

| name = 完全星形二十面体

| polyhedron = 完全星形二十面体

| Custom image = [[File:Complete icosahedron ortho stella.png|140px]][[File:Complete icosahedron ortho2 stella.png|140px]]<br/>两个对称性的正投影

| Type = [[星形二十面体]]<br/>收录于{{nowrap|《[[五十九种二十面体]]》中}}

| Index_references = [[温尼尔多面体模型列表|W]]₄₂, 8/59

| dual = 詳见[[#对偶多面体]]一节<br/>[[File:Dual of final stellation of the icosahedron.png|100px]]

| Stdg = h层

| core = [[正二十面体]]

| Convex_hull = 不均勻[[截角二十面体]]

在[[几何学]]中，'''完全星形二十面体'''（{{lang-en|Final stellation of the icosahedron}}或complete stellation of the icosahedron）、<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>{{rp|30–31}}<ref name="Wenninger, Polyhedron Models"/>{{rp|65}}'''完全二十面体'''（{{lang-ja|かんぜんにじゅうめんたい}}）或'''针鼴二十面体'''（{{lang-en|Echidnahedron}}<ref name=mw/>）是一种[[星形二十面体]]。<ref>{{Cite web | title = Echidnahedron | author = Eric W. Weisstein | date = 1999-05-25 | accessdate = 2016-09-02 | publisher = [[密西根州立大学]][[图书馆]] }}</ref>它是[[星形二十面体]]的最外层，也因为包括星形二十面体的所有胞，因此是“完全”和“最后”的星形二十面体。温尼尔在他的书中列出的种星形多面体模型中，也包含了完全星形二十面体，并給予编号W₄₂。<ref>{{cite book | author = {{link-en|马格努斯·J·温尼尔|Magnus J. Wenninger|Wenninger, Magnus}} | title = Polyhedron Models | publisher = Cambridge University Press | year = 1974 | isbn = 0-521-09859-9 }}</ref>其也收录于[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]的书《[[五十九种二十面体]]》中，编号为8。<ref>{{cite book | author = H·S·M·考克斯特 | | others = H. T. Flather, J. F. Petrie | title = [[五十九种二十面体]] | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2012 | isbn = 9781461382164 }}</ref>

[[File:Stellation H of icosahedron.svg|缩略图|完全星形二十面体]]

几何形狀上，完全星形二十面体有两种形式，其在外观上无法区别：

* 一种是非正的星形（自相交）多面体，由二十个[[九角星]]（边自相交九边形）、90条[[边 (几何)|边]]和60个[[顶点 (几何)|顶点]]组成。

* 另一种是由180个[[三角形]]组成的[[简单多面体]]，其中包含60个[[等腰三角形]]、120个[[不等边三角形]]、270条边和92个顶点。以这种多面体结构来建构完全星形二十面体的模型会比较容易。

== 历史 ==

|none|520px|alt=星形正多面体}}

关于星形二十面体的研究最早可以追朔到1619年出版的《[[世界的和諧]]》中，[[约翰内斯·开普勒]]已针对二十面体的星形化体进行了一些研究，当中列出了属于正多面体的[[大星形十二面体]]与[[小星形十二面体]]。<ref>{{Cite MathWorld|urlname = Kepler-PoinsotSolid|title = Kepler-Poinsot Solid}}</ref>1809年{{link-en|路易斯·龐索|Louis Poinsot}}重新发现了开普勒先前发现的星形二十面体并另外发现了两个星形多面体：[[大二十面体]]与[[大十二面体]]，因此这四个立体现今合称为[[克卜勒－龐索立体]]。<ref>Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.</ref>1812年[[奥古斯丁-路易·柯西]]进一步列举了星形多面体并证明[[星形正多面体]]只有4个。<ref name="Cromwell">{{cite book

|

}}</ref>{{rp|259}}而到了1900年{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner}}，将星形多面体推广到了不限于正多面体的情況，并列出了十种[[星形二十面体]]，当中包括了'''完全星形二十面体'''。<ref name="mb">{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner|Brückner, Max}}(1900). ''Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte''. Leipzig: B.G. Treubner. {{ISBN|978-1-4181-6590-1}}. {{in lang|de}} [http://www.worldcat.org/oclc/25080888?tab=details WorldCat] English: ''Polygons and Polyhedra: Theory and History''. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. [http://bulatov.org/polyhedra/bruckner1900/index.html High res. scans.]</ref>1924年由学者A.H. Wheeler发表的著作中列举的20种星形二十面体（其共列举了22种，但有些互为镜像）中亦包含了'''完全星形二十面体'''。<ref>A. H. Wheeler, ''Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra'', Proc. Internat. Math. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701–708</ref>1938年，[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]、{{link-en|帕特里克·杜·瓦尔|Patrick du Val}}、{{link-en|H·T·夫雷勒|Flather, H. T.}}和{{link-en|J·F·皮特里|Petrie, J. F.}}在其著作《[[五十九种二十面体]]》中为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并列出了59种符合规则的[[星形二十面体]]，'''完全星形二十面体'''在本书中被称为'''第八星形二十面体'''。1974年，温尼尔亦在其著作《多面体模型》中收录、编号并描述了'''完全星形二十面体'''，其将'''完全星形二十面体'''编号为W₄₂。<ref name="Wenninger, Polyhedron Models">Wenninger, Magnus J., ''Polyhedron models''; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5. (Model 42, p 65, ''Final stellation of the icosahedron'')</ref>

|[[File:Model of the final stellation of the icosahedron.JPG|160px]]<br>{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner}}的<br>完全星形二十面体模型{{#tag:ref|Brückner, Max (1900)<ref name="mb"/>(Taf. XI, Fig. 14, 1900)}}

|[[File:Echidna, Exmouth.jpg|160px]]<br>[[针鼴]]

1995年，'''完全星形二十面体'''被收录于{{link-en|Netlib|Netlib}}函式库的多面体资料库中，并命名为'''针鼴二十面体'''（echidnahedron），其因外型类似于蜷缩成球的[[针鼴]]而得名<ref>The name ''echidnahedron'' may be credited to Andrew Hume, [http://netlib.sandia.gov/master/index.html developer] of the {{link-en|netlib|netlib}} [http://netlib.sandia.gov/polyhedra/index.html polyhedron database] :<br />"...&nbsp;and some odd solids including the echidnahedron (my name; its actually the final stellation of the icosahedron)." geometry.research; "polyhedra database"; August 30, 1995, 12:00 am. <br /></ref>（[[针鼴]]是一种全身覆盖著粗糙的毛髮和刺的小型哺乳动物，当其遇到危险时会卷成球狀保护自己）。关于完全星形二十面体的对偶多面体较少有文献专门探討，仅有2000年时，英奇博德·盖在其著作中描述了其面的组成，<ref name="article inchbald2000towards"/>对于其更詳細的性质尚未被有效地探討及解決，亦未被命名。

== 性质 ==

=== 作为正二十面体的星形化体 ===

{{main|五十九种二十面体}}

将正二十面体的原有的面延伸成无窮平面，并由其向外延伸的相交点构成的立体称为正二十面体的星形化体，或简称为[[星形二十面体]]。书籍《[[五十九种二十面体]]》为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并根据其规则給予了一套表示系统，称为杜瓦表示法。其列举了正二十面体向外延伸后有可能相交出的面，称为星形二十面体的胞。杜瓦表示法主要以星形二十面体所佔据的胞来命名。完全星形二十面体正好佔据了最外层“h”层的所有胞，因此完全星形二十面体在杜瓦表示法中可以用'''H'''来表示。<ref name="Cromwell"/>

=== 作为一个简单多面体 ===

[[File:Complete icosahedron net stella.png|缩略图|250px|完全星形二十面体的多面体模型可以由12个上图中的面组来构成，每组面折成五个锥体]]

简单多面体是指这个多面体中的面不会与同一个[[多面体]]的另一个面相交的[[多面体]]。若完全星形二十面体要成为一个简单多面体，则需要在这多面体中[[相交]]的面上放置新的顶点和边，并将原本的[[九角星]]面分割成9个三角形面。这样的多面体共有180个面、<ref>Jenkins, Gerald, and Magdalen Bear. ''The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together''. Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6.</ref>270条边和92个顶点，且[[欧拉示性数]]为2。<ref>{{Cite web | author = Paul Houle | title = Echidnahedron | publisher = polyhedra.org | url = http://polyhedra.org/poly/show/141/echidnahedron | | | access-date = 2016-09-02 }}</ref>

其92个[[顶点 (几何)|顶点]]分别位于3个[[同心圆|同心]]的[[球面]]上。最内层有20个顶点，来自一个[[正十二面体]]；中间那层有12顶点，来自一个正二十面体；最外层的60个顶点来自一个不均勻的[[截角二十面体]]。这三层的[[半径]]比为：<ref name=mw>{{Cite MathWorld | urlname=Echidnahedron | title=Echidnahedron}}</ref>

|+ 凸包和其他层的顶点

! 内层

! 中层

! 外层

!20个顶点

!12个顶点

!60个顶点

!92个顶点

|[[File:Dodecahedron.png|100px]]<br/>[[正十二面体]]

|[[File:Icosahedron.png|100px]]<br/>[[正二十面体]]

|[[File:Complete icosahedron convex hull.png|100px]]<br/>不均勻[[截角二十面体]]

|[[File:Complete icosahedron ortho stella.png|100px]]<br/>完全星形二十面体

在上述条件下将完全星形二十面体重建成面不会自我相交的三维立体结构后，其边长将变为<math>a</math>、<math>a\varphi</math>、<math>a\varphi^2</math>与<math>a\varphi^2\sqrt{2}</math>（其中<math>\varphi</math>为黃金比例）。而上述3个分层（内层[[正十二面体]]、中层[[正二十面体]]、外层不均勻[[截角二十面体]]）分别的外接球半径（内层<math>R_{12}</math>、中层<math>R_{20}</math>、外层<math>R_{60}</math>）为：<ref name=mw />

其表面积<math>S</math>和体积<math>V</math>为：<ref name=mw />

=== 作为一个星形多面体 ===

当'''完全星形二十面体'''作为一个星形多面体时，其是一个面自我相交的非凸多面体，共有20面、90个边和60个[[顶点 (几何)|顶点]]。其每个面都是与[[施莱夫利符号]]为 {9/4} 的[[九角星]]相近的形狀。<ref name="Coxeter et al. (1938)">{{Citation | last1 = Coxeter | first1 = Harold Scott MacDonald | last2 = Du Val | first2 = P. | last3 = Flather | first3 = H. T. | last4 = Petrie | first4=J. F. | title=The fifty-nine icosahedra | publisher = Tarquin | edition=3rd | isbn=978-1-899618-32-3 | mr=676126 | year=1999}} p. 259 (1st Edn University of Toronto (1938))</ref>

|[[File:Echidnahedron with enneagram face.png|150px]]<br/>20个与施莱夫利符号为 {9/4}<br/>的[[九角星]]形狀相近的面<br/>将其中一个以黃色表示

|[[File:Enneagram 9-4 icosahedral.svg|150px]]<br/>完全星形二十面体中九角星面的形狀

==== 面的组成 ====

完全星形二十面体由20个[[九角星]]面组成，<ref name="林哲宇 2007">{{Cite thesis |degree= 硕士 |title= 正多面体的星狀多面体 |url= https://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi/login?o=dnclcdr&s=id=%22095NTHU5479008%22. |author= 林哲宇 |year= 2007 |publisher= 国立清华大学 |accessdate= 2021-07-26 }}</ref>由于完全星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>因此，会导致面有部分隐沒在图形内部，如下图，露在外面的部份已蓝色表示、隐沒于形狀内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。

=== 构造方式 ===

完全星形二十面体可由其九角星面构造，构造方式为以其对应星狀图的中心胞之正三角形建构一个正二十面体，并透过该正二十面体边旋转九角星面构造完全星形二十面体中的一半面数，剩餘部分可透过将钱面完成的部分以中心点对称方式来完成整个完全星形二十面体的构造。<ref name="林哲宇 2007"/>

== 对偶多面体 ==

| name = 完全星形二十面体的对偶多面体

| polyhedron = 完全星形二十面体的对偶多面体

| rinfo = (按这里观看旋转模型)

| Type = [[星形多面体]]

| dual = [[完全星形二十面体#top|完全星形二十面体]]

完全星形二十面体的对偶多面体由60个面、90条边和20个顶点所组成，其中60个面都是等腰三角形，且每个顶点都是9个等腰三角形的公共顶点。完全星形二十面体的对偶多面体组成的顶点排列方式与正十二面体相同，但顶点间的相连关系与正十二面体不同，因此其可以视为是正二十面体的一种刻面结果。<ref name="article inchbald2000towards">{{Cite journal

| [[File:Dual of final stellation of the icosahedron.gif|150px]]<br/>完全星形二十面体的对偶多面体

| [[File:Face of dual of final stellation of the icosahedron.svg|150px]]<br/>组成完全星形二十面体之对偶多面体的面

由于这个立体是完全星形二十面体的对偶多面体，因此原有多面体的面会成为对偶多面体的顶点图，反之亦然，<ref>{{Cite MathWorld | urlname=DualPolyhedron | title=Dual Polyhedron}}</ref>也就是说完全星形二十面体之对偶多面体的[[顶点图]]会是九角星，即顶点周围之面的排列方式会依循九角星边的连接方式：<ref name=hudsi>{{Cite web | url = https://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/hudsi.htm | title = hudsi (dual of H-stellation of icosahedron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-27 }}</ref>

| [[File:Vertex figure of dual of final stellation of the icosahedron.png|150px]]<br/>组成完全星形二十面体之<br/>对偶多面体顶点周围面的<br/>排列方式（[[顶点图]]）

| [[File:Enneagram 9-4 icosahedral.svg|150px]]<br/>完全星形二十面体之<br/>对偶多面体的[[顶点图]]

完全星形二十面体的对偶多面体的面由等腰三角形组成，由于其面有跟其他的面相交的性质，<ref name="article inchbald2000towards"/>因此会导致面有部分隐沒在图形内部，如下图，露在外面的部份已蓝色表示、隐沒于形狀内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。

完全星形二十面体的对偶多面体是五角柱七百二十胞体（pentagon-prismatic heptacosicosachoron）的[[顶点图]]。<ref>{{Cite web | url = http://www.polytope.net/hedrondude/sishi.htm | title = Category 17: Sishi Regiment | publisher = polytope.net | author = Jonathan Bowers | access-date = 2021-07-26 }}</ref><ref>{{Cite web | url = https://bendwavy.org/klitzing/incmats/paphacki.htm | title = paphacki (pentagon-prismatic heptacosicosachoron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-26 }}</ref>

== 参见 ==

* [[星形二十面体列表]]

== 参考文献 ==

== 外部链接 ==

* {{mathworld |urlname=Echidnahedron |title=针鼴二十面体}}

{{星形二十面体导航}}

{{FA|B1}}

[[Category:多面体]]

[[Category:星形二十面体]]