完全星形二十面體：修订间差异

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在[[几何学]]中，'''完全星形二十面体'''（{{lang-en|Final stellation of the icosahedron}}或complete stellation of the icosahedron）、<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>{{rp|30–31}}<ref name="Wenninger, Polyhedron Models"/>{{rp|65}}'''完全二十面体'''（{{lang-ja|かんぜんにじゅうめんたい}}）或'''针鼴二十面体'''（{{lang-en|Echidnahedron}}<ref name=mw/>）是一种[[星形二十面体]]。<ref>{{Cite web | title = Echidnahedron | author = Eric W. Weisstein | date = 1999-05-25 | accessdate = 2016-09-02 | publisher = [[密西根州立大学]][[图书馆]] | | | | }}</ref>它是[[星形二十面体]]的最外层，也因为包括星形二十面体的所有胞，因此是“完全”和“最后”的星形二十面体。温尼尔在他的书中列出的种星形多面体模型中，也包含了完全星形二十面体，并給予编号W<sub>42</sub>。<ref>{{cite book | author = {{link-en|马格努斯·J·温尼尔|Magnus J. Wenninger|Wenninger, Magnus}} | title = Polyhedron Models | publisher = Cambridge University Press | year = 1974 | isbn = 0-521-09859-9 }}</ref>其也收录于[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]的书《[[五十九种二十面体]]》中，编号为8。<ref>{{cite book | author = H·S·M·考克斯特 | | others = H. T. Flather, J. F. Petrie | title = [[五十九种二十面体]] | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2012 | isbn = 9781461382164 }}</ref>
在[[几何学]]中，'''完全星形二十面体'''（{{lang-en|Final stellation of the icosahedron}}或complete stellation of the icosahedron）、<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>{{rp|30–31}}<ref name="Wenninger, Polyhedron Models"/>{{rp|65}}'''完全二十面体'''（{{lang-ja|かんぜんにじゅうめんたい}}）或'''针鼴二十面体'''（{{lang-en|Echidnahedron}}<ref name=mw/>）是一种[[星形二十面体]]。<ref>{{Cite web | title = Echidnahedron | author = Eric W. Weisstein | date = 1999-05-25 | accessdate = 2016-09-02 | publisher = [[密西根州立大学]][[图书馆]] }}</ref>它是[[星形二十面体]]的最外层，也因为包括星形二十面体的所有胞，因此是“完全”和“最后”的星形二十面体。温尼尔在他的书中列出的种星形多面体模型中，也包含了完全星形二十面体，并給予编号W<sub>42</sub>。<ref>{{cite book | author = {{link-en|马格努斯·J·温尼尔|Magnus J. Wenninger|Wenninger, Magnus}} | title = Polyhedron Models | publisher = Cambridge University Press | year = 1974 | isbn = 0-521-09859-9 }}</ref>其也收录于[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]的书《[[五十九种二十面体]]》中，编号为8。<ref>{{cite book | author = H·S·M·考克斯特 | | others = H. T. Flather, J. F. Petrie | title = [[五十九种二十面体]] | publisher = Springer Science & Business Media | year = 2012 | isbn = 9781461382164 }}</ref>


[[File:Stellation H of icosahedron.svg|缩略图|完全星形二十面体]]
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}}</ref>{{rp|259}}而到了1900年{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner}}，将星形多面体推广到了不限于正多面体的情況，并列出了十种[[星形二十面体]]，当中包括了'''完全星形二十面体'''。<ref name="mb">{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner|Brückner, Max}}(1900). ''Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte''. Leipzig: B.G. Treubner. {{ISBN|978-1-4181-6590-1}}. {{in lang|de}} [http://www.worldcat.org/oclc/25080888?tab=details WorldCat] English: ''Polygons and Polyhedra: Theory and History''. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. [http://bulatov.org/polyhedra/bruckner1900/index.html High res. scans.]</ref>1924年由学者A.H. Wheeler发表的著作中列举的20种星形二十面体（其共列举了22种，但有些互为镜像）中亦包含了'''完全星形二十面体'''。<ref>A. H. Wheeler, ''Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra'', Proc. Internat. Math. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701–708</ref>1938年，[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]、{{link-en|帕特里克·杜·瓦尔|Patrick du Val}}、{{link-en|H·T·夫雷勒|Flather, H. T.}}和{{link-en|J·F·皮特里|Petrie, J. F.}}在其著作《[[五十九种二十面体]]》中为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并列出了59种符合规则的[[星形二十面体]]，'''完全星形二十面体'''在本书中被称为'''第八星形二十面体'''。1974年，温尼尔亦在其著作《多面体模型》中收录、编号并描述了'''完全星形二十面体'''，其将'''完全星形二十面体'''编号为W<sub>42</sub>。<ref name="Wenninger, Polyhedron Models">Wenninger, Magnus J., ''Polyhedron models''; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5. (Model 42, p 65, ''Final stellation of the icosahedron'')</ref>
}}</ref>{{rp|259}}而到了1900年{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner}}，将星形多面体推广到了不限于正多面体的情況，并列出了十种[[星形二十面体]]，当中包括了'''完全星形二十面体'''。<ref name="mb">{{link-en|马克斯·布吕克纳|Max Brückner|Brückner, Max}}(1900). ''Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte''. Leipzig: B.G. Treubner. {{ISBN|978-1-4181-6590-1}}. {{in lang|de}} [http://www.worldcat.org/oclc/25080888?tab=details WorldCat] English: ''Polygons and Polyhedra: Theory and History''. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. [http://bulatov.org/polyhedra/bruckner1900/index.html High res. scans.]</ref>1924年由学者A.H. Wheeler发表的著作中列举的20种星形二十面体（其共列举了22种，但有些互为镜像）中亦包含了'''完全星形二十面体'''。<ref>A. H. Wheeler, ''Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra'', Proc. Internat. Math. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701–708</ref>1938年，[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特]]、{{link-en|帕特里克·杜·瓦尔|Patrick du Val}}、{{link-en|H·T·夫雷勒|Flather, H. T.}}和{{link-en|J·F·皮特里|Petrie, J. F.}}在其著作《[[五十九种二十面体]]》中为正二十面体的星形化体提供了一个系统性的规则，并列出了59种符合规则的[[星形二十面体]]，'''完全星形二十面体'''在本书中被称为'''第八星形二十面体'''。1974年，温尼尔亦在其著作《多面体模型》中收录、编号并描述了'''完全星形二十面体'''，其将'''完全星形二十面体'''编号为W<sub>42</sub>。<ref name="Wenninger, Polyhedron Models">Wenninger, Magnus J., ''Polyhedron models''; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5. (Model 42, p 65, ''Final stellation of the icosahedron'')</ref>
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=== 作为一个简单多面体 ===
=== 作为一个简单多面体 ===
[[File:Complete icosahedron net stella.png|缩略图|250px|完全星形二十面体的多面体模型可以由12个上图中的面组来构成，每组面折成五个锥体]]
[[File:Complete icosahedron net stella.png|缩略图|250px|完全星形二十面体的多面体模型可以由12个上图中的面组来构成，每组面折成五个锥体]]
简单多面体是指这个多面体中的面不会与同一个[[多面体]]的另一个面相交的[[多面体]]。若完全星形二十面体要成为一个简单多面体，则需要在这多面体中[[相交]]的面上放置新的顶点和边，并将原本的[[九角星]]面分割成9个三角形面。这样的多面体共有180个面、<ref>Jenkins, Gerald, and Magdalen Bear. ''The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together''. Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6.</ref>270条边和92个顶点，且[[欧拉示性数]]为2。<ref>{{Cite web | author = Paul Houle | title = Echidnahedron | publisher = polyhedra.org | url = http://polyhedra.org/poly/show/141/echidnahedron | | | access-date = 2016-09-02 | }}</ref>
简单多面体是指这个多面体中的面不会与同一个[[多面体]]的另一个面相交的[[多面体]]。若完全星形二十面体要成为一个简单多面体，则需要在这多面体中[[相交]]的面上放置新的顶点和边，并将原本的[[九角星]]面分割成9个三角形面。这样的多面体共有180个面、<ref>Jenkins, Gerald, and Magdalen Bear. ''The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together''. Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6.</ref>270条边和92个顶点，且[[欧拉示性数]]为2。<ref>{{Cite web | author = Paul Houle | title = Echidnahedron | publisher = polyhedra.org | url = http://polyhedra.org/poly/show/141/echidnahedron | | | access-date = 2016-09-02 }}</ref>


其92个[[顶点 (几何)|顶点]]分别位于3个[[同心圆|同心]]的[[球面]]上。最内层有20个顶点，来自一个[[正十二面体]]；中间那层有12顶点，来自一个正二十面体；最外层的60个顶点来自一个不均勻的[[截角二十面体]]。这三层的[[半径]]比为：<ref name=mw>{{Cite MathWorld | urlname=Echidnahedron | title=Echidnahedron}}</ref>
其92个[[顶点 (几何)|顶点]]分别位于3个[[同心圆|同心]]的[[球面]]上。最内层有20个顶点，来自一个[[正十二面体]]；中间那层有12顶点，来自一个正二十面体；最外层的60个顶点来自一个不均勻的[[截角二十面体]]。这三层的[[半径]]比为：<ref name=mw>{{Cite MathWorld | urlname=Echidnahedron | title=Echidnahedron}}</ref>
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==== 面的组成 ====
==== 面的组成 ====
完全星形二十面体由20个[[九角星]]面组成，<ref name="林哲宇 2007">{{Cite thesis |degree= 硕士 |title= 正多面体的星狀多面体 |url= https://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi/login?o=dnclcdr&s=id=%22095NTHU5479008%22. |author= 林哲宇 |year= 2007 |publisher= 国立清华大学 |accessdate= 2021-07-26 |||}}</ref>由于完全星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>因此，会导致面有部分隐沒在图形内部，如下图，露在外面的部份已蓝色表示、隐沒于形狀内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。
完全星形二十面体由20个[[九角星]]面组成，<ref name="林哲宇 2007">{{Cite thesis |degree= 硕士 |title= 正多面体的星狀多面体 |url= https://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi/login?o=dnclcdr&s=id=%22095NTHU5479008%22. |author= 林哲宇 |year= 2007 |publisher= 国立清华大学 |accessdate= 2021-07-26 }}</ref>由于完全星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，<ref name="Coxeter et al. (1938)"/>因此，会导致面有部分隐沒在图形内部，如下图，露在外面的部份已蓝色表示、隐沒于形狀内部的部分以白色表示，黑线为与其他面的交线。
:[[File:Echidnahedron stellation facets.svg|200px]]
:[[File:Echidnahedron stellation facets.svg|200px]]
=== 构造方式 ===
=== 构造方式 ===
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| [[File:Face of dual of final stellation of the icosahedron.svg|150px]]<br/>组成完全星形二十面体之对偶多面体的面
| [[File:Face of dual of final stellation of the icosahedron.svg|150px]]<br/>组成完全星形二十面体之对偶多面体的面
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由于这个立体是完全星形二十面体的对偶多面体，因此原有多面体的面会成为对偶多面体的顶点图，反之亦然，<ref>{{Cite MathWorld | urlname=DualPolyhedron | title=Dual Polyhedron}}</ref>也就是说完全星形二十面体之对偶多面体的[[顶点图]]会是九角星，即顶点周围之面的排列方式会依循九角星边的连接方式：<ref name=hudsi>{{Cite web | url = https://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/hudsi.htm | title = hudsi (dual of H-stellation of icosahedron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-27 | | | }}</ref>
由于这个立体是完全星形二十面体的对偶多面体，因此原有多面体的面会成为对偶多面体的顶点图，反之亦然，<ref>{{Cite MathWorld | urlname=DualPolyhedron | title=Dual Polyhedron}}</ref>也就是说完全星形二十面体之对偶多面体的[[顶点图]]会是九角星，即顶点周围之面的排列方式会依循九角星边的连接方式：<ref name=hudsi>{{Cite web | url = https://www.bendwavy.org/klitzing/incmats/hudsi.htm | title = hudsi (dual of H-stellation of icosahedron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-27 }}</ref>
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第189行： 第186行：
:[[File:Facet of dual of final stellation of the icosahedron.svg|250px]]
:[[File:Facet of dual of final stellation of the icosahedron.svg|250px]]


完全星形二十面体的对偶多面体是五角柱七百二十胞体（pentagon-prismatic heptacosicosachoron）的[[顶点图]]。<ref>{{Cite web | url = http://www.polytope.net/hedrondude/sishi.htm | title = Category 17: Sishi Regiment | publisher = polytope.net | author = Jonathan Bowers | access-date = 2021-07-26 | | | }}</ref><ref>{{Cite web | url = https://bendwavy.org/klitzing/incmats/paphacki.htm | title = paphacki (pentagon-prismatic heptacosicosachoron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-26 | | | }}</ref>
完全星形二十面体的对偶多面体是五角柱七百二十胞体（pentagon-prismatic heptacosicosachoron）的[[顶点图]]。<ref>{{Cite web | url = http://www.polytope.net/hedrondude/sishi.htm | title = Category 17: Sishi Regiment | publisher = polytope.net | author = Jonathan Bowers | access-date = 2021-07-26 }}</ref><ref>{{Cite web | url = https://bendwavy.org/klitzing/incmats/paphacki.htm | title = paphacki (pentagon-prismatic heptacosicosachoron) | publisher = bendwavy.org | author = Richard Klitzing | access-date = 2021-07-26 }}</ref>


== 参见 ==
== 参见 ==
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{{星形二十面体导航}}
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[[Category:多面体]]
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取自“https://www.qiuwenbaike.cn/wiki/完全星形二十面體”