大星形十二面體

**大星形十二面體**
	; (按這裡觀看旋轉模型)
類別	星形正多面體
對偶多面體	大二十面體
識別
名稱	大星形十二面體
參考索引	U52, C68, W22
數學表示法
考克斯特符號;
施萊夫利符號	{5/2,3}
威佐夫符號;	3 \| 2 5/2
性質
面	12
邊	30
頂點	20
歐拉特徵數	F=12, E=30, V=20 （χ=2）
虧格	0
組成與佈局
面的種類	12個五角星
面的佈局;	12{5/2}
頂點圖	(5/2)3
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
	正、非凸
圖像
	; (5/2)3; （頂點圖）
	; 大二十面體; (對偶多面體)
	閱; 論; 編;

在幾何學上，大星形十二面體是一個由五角星組成的非凸正多面體^[1]，是正十二面體的星形多面體，其在非凸均勻多面體被編號為U₅₂、在溫尼爾多面體模型被編號為W₂₂。該多面體最早是由溫佐·雅姆尼策爾於1568年發現並描述^[2]^[3]^[4]。後來在1619年時，被約翰尼斯·克卜勒重新發現^[5]^[6]^[7]。

大星形十二面體的對偶多面體也是一種星形正多面體，同時也是星形二十面體，其為由正三角形構成的大二十面體。

性質

大星形十二面體共有12個面、30條邊和20個頂點^[8]，其每個面都是全等的正五角星^[9]、每個頂點都是3個五角星的公共頂點，在頂點圖為三角形，可以用(⁵/₂)³來表示^[10]，施萊夫利符號中利用 {⁵/₂,3} 來表示，考克斯特符號中利用來表示。

二面角

大星形十二面體是一種星形正多面體，因此具有所有角相等的性質。其二面角只有一個值，其值為五平方根倒數之反餘弦^[11]：

\cos^{-1} (\frac{\sqrt{5}}{5}) \approx 1.1071 \approx 63.4349 ^{\circ}

頂點坐標

邊長為單位長且幾何中心位於原點的大星形十二面體，其頂點坐標為^[12]：

(\pm \frac{1}{2},  0,  \pm \frac{3-\sqrt{5}}{4})

、

( 0,  \pm \frac{3-\sqrt{5}}{4}, \pm \frac{1}{2})

、

( \pm \frac{3-\sqrt{5}}{4}, \pm \frac{1}{2},  0)

、

( \pm \frac{\sqrt{5}-1}{4},  \pm \frac{\sqrt{5}-1}{4},  \pm \frac{\sqrt{5}-1}{4})

。

作為一個簡單多面體

簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體。若大星形十二面體要成為一個簡單多面體，則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊，並將原本的五角星面分割成5個三角形面。這樣的多面體共有60個面、90條邊和32個頂點^[13]

參見

正十二面體

參考文獻

Cauchy, A. L. "Recherches sur les polyèdres." J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.

↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
↑ 埃里克·韋斯坦因. 大星形十二面体. MathWorld.
↑ Perspectiva corporum regularium. mathe.tu-freiberg.de. [2017-03-24].
↑ Geometric Model by A. Harry Wheeler, Great Stellated Dodecahedron. americanhistory.si.edu. [2017-03-24].
↑ 埃里克·韋斯坦因. Kepler–Poinsot solid. MathWorld.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi (1619).
↑ Johannes Kepler with E. J. Aiton, A. M. Duncan, and J. V. Field, translators, The Harmony of the World, American Philosophical Society (1997).
↑ great stellated dodecahedron. bulatov.org. [2016-09-02].
↑ Great Stellated Dodecahedron. coolmath. [2016-09-02].
↑ Cundy, H. and Rollett, A. "Great Stellated Dodecahedron. (⁵/₂)³." §3.6.3 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 94-95, 1989.
↑ Kepler-Poinsot Solids: Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. [2016-09-02].
↑ Data of Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. [2016-10-01].
↑ Alexander Bogomolny. Great Stellated Dodecahedron. cut-the-knot.org. [2016-09-02].
↑ compound of great stellated dodecahedron and great icosahedron. bulatov.org. [2016-09-02].
↑ ^15.0 ^15.1 埃里克·韋斯坦因. Great Icosahedron-Great Stellated Dodecahedron Compound. MathWorld.
↑ H. Cundy and A. Rollett Great Icosahedron Plus Great Stellated Dodecahedron. §3.10.4 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 132-133, 1989.
↑ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

外部連結

[2] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra

[3] 埃里克·韋斯坦因. 大星形十二面体. MathWorld.

[4] Perspectiva corporum regularium. mathe.tu-freiberg.de. [2017-03-24].

[5] Geometric Model by A. Harry Wheeler, Great Stellated Dodecahedron. americanhistory.si.edu. [2017-03-24].

[6] 埃里克·韋斯坦因. Kepler–Poinsot solid. MathWorld.

[7] Johannes Kepler, Harmonices Mundi (1619).

[8] Johannes Kepler with E. J. Aiton, A. M. Duncan, and J. V. Field, translators, The Harmony of the World, American Philosophical Society (1997).

[9] reat stellated dodecahedron. bulatov.org. [2016-09-02].

[10] Great Stellated Dodecahedron. coolmath. [2016-09-02].

[11] Cundy, H. and Rollett, A. "Great Stellated Dodecahedron. (⁵/₂)³." §3.6.3 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 94-95, 1989.

[12] Kepler-Poinsot Solids: Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. [2016-09-02].

[dmccooeydata-13] Data of Great Stellated Dodecahedron. dmccooey.com. [2016-10-01].

[14] Alexander Bogomolny. Great Stellated Dodecahedron. cut-the-knot.org. [2016-09-02].

[15] und of great stellated dodecahedron and great icosahedron. bulatov.org. [2016-09-02].

[math_world-16] 15.0 ^15.1 埃里克·韋斯坦因. Great Icosahedron-Great Stellated Dodecahedron Compound. MathWorld.

[17] H. Cundy and A. Rollett Great Icosahedron Plus Great Stellated Dodecahedron. §3.10.4 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 132-133, 1989.

[18] Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

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大星形十二面體

目次

性質

二面角

頂點坐標

作為一個簡單多面體

相關多面體

對偶複合體

參見

參考文獻

外部連結

名稱	大星形十二面體	截角大星形十二面體	大截半二十面體	截角大二十面體	大二十面體
考式
圖像