安培定律

  此条目的主题是载流导线与其产生的磁场之间的关系。关于描述两条载流导线相互作用的力的定律，请见“安培力定律”。

在这篇文章内，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

安德烈-玛丽·安培。

安培定律（英语：Ampère's circuital law），又称安培环路定律，是由安德烈-玛丽·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。安培定律表明，在真空中载流导线所载有的电流，与磁场沿着环绕导线的闭合回路的路径积分，两者之间的关系为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$；

其中，$\mathbb{C}$是环绕着导线的闭合回路，$\mathbf{B}$是磁场（又称为B场），$\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$是微小线元素矢量，$\mu_0$是磁常数，$I_{\text{enc}}$是闭合回路$\mathbb{C}$所围住的电流。

1861年，詹姆斯·麦克斯韦又将这方程重新推导一遍，使得符合电动力学条件，并且发表结果于论文《论物理力线》内。麦克斯韦认为，含时电场会生成磁场，假若电场含时间，则前述安培定律方程不成立，必须加以修正。经过修正后，新的方程称为麦克斯韦-安培方程，是麦克斯韦方程组中的一个方程，以积分形式表示为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$；

其中，$\mathbb{S}$是边缘为$\mathbb{C}$的任意曲面，$\mathbf{J}$是穿过曲面$\mathbb{S}$的电流的电流密度，$\mathbf{ D }$是电位移，$\mathrm{d}\mathbf{a}$是微小面元素矢量。

右手定则

载流循环所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向，则拇指所指的方向即为电流的方向。

安培右手定则：将右手的大拇指指向电流$I$方向，再将四根手指握紧电线，则弯曲的方向决定磁场$\mathbf{B}$的方向

右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法，右手定则称为“安培右手定则”，或“安培定则”。如右图，安培右手定则表明，假若将右手的大拇指朝着电线的电流方向指去，再将四根手指握紧电线，则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

原版安培定律

一条载流导线所载有的电流会产生磁场。

安培定律的历史原版形式，连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式，积分形式和微分形式。根据开尔文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），对于任意矢量$\mathbf{F}$，

$\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$。

所以，这两种形式是等价的。

积分形式

电流$I$在一个曲面$\mathbb{S}$上的通量，等于磁场$\mathbf{B}$沿着$\mathbb{S}$的边缘闭合回路$\mathbb{C}$的路径积分。采用国际单位制（后面会讲述CGS单位制版本），原版安培定律的积分形式可以写为：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I$。

请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清：

• 第一，边界曲线$\mathbb{C}$的正向与曲面$\mathbb{S}$的侧符合右手规则。

• 第二，（固定$\mathbb{C}$，）定理之成立与以$\mathbb{C}$为边界的$\mathbb{S}$的选择无关。

安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

微分形式

根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$。

磁场$\mathbf{B}$的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度$\mathbf{J}$。

电流分类

电流可以细分为自由电流和束缚电流，而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程表示，总电流密度$\mathbf{J}$是

$\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}$；

其中，$\mathbf{J}_ f$是自由电流密度或传导电流密度，$\mathbf{J}_M$是磁化电流密度，$\mathbf{J}_ P$是电极化电流密度。

从微观而言，所有的电流基本上是一样的。但是，由于实用原因，物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流，对于每一类电流有不同的处理方式。例如，束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此，较微观的安培定律，以B场$\mathbf{B}$和微观电流（包括自由电流和束缚电流）来表达的定律，有时候会被替代为等价的形式，以附属磁场（又称为H场）$\mathbf{H}$和自由电流来表达的形式。后面证明段落，会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义，与两种表述等价的证明。

自由电流

通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字，都是指的自由电流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同，后者出现于可以被磁化或电极化的宏观物质里（每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化）。

磁化电流

当一个物质被磁化的时候（例如，将此物质置入外磁场），电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是，它们的物理行为会有所改变（会与感受到的磁场耦合），产生微观电流。将这些电流总合在一起，会有如同宏观电流一般的效应，环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流，是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度”$\mathbf{J}_M$，用方程定义为

$\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}$；

其中，$\mathbf{M}$是磁化强度（单位体积的磁偶极矩）。

电极化电流

束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用，可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随着时间而变化，束缚电荷也会随着时间而移动，因而产生“电极化电流”，称其密度为“电极化电流密度”$\mathbf{J}_P$，用方程定义为

$\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$；

其中，$\mathbf{P}$是电极化强度。

注意到电极化强度的定义式

$\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ - \rho_b$；

其中，$\rho_b$是“体束缚电荷密度”。

取电极化电流密度的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})$。

所以，电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}$。

原版安培定律的不足处

原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程，

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$；

其中，$\mathbf{B}$是B场，$\mu_0$是磁常数，$\mathbf{J }$是总电流。

取散度于这方程，则会得到

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }$。

应用一个矢量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0$。

这意味着电流密度的散度等于零：

$\nabla\cdot\mathbf{J }=0$。

在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。

一个正在充电的电容器，左边的圆形金属板，被一个假想的封闭圆柱表面$\mathbb{S}$包围。这圆柱表面的右边表面$\mathbb{R}$处于电容器的两块圆形金属板之间，左边表面$\mathbb{L}$处于最左边。没有任何传导电流通过表面$\mathbb{R}$，而有电流$I$通过表面$\mathbb{L}$。

举个经典例子，如图右，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面$\mathbb{L}$的边缘为闭合回路$\mathbb{C}$。应用安培定律，

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{\text{enc}}$。

在这里，$I_{\text{enc}}$是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路$\mathbb{C}$。所以，这任意曲面可以是表面$\mathbb{L}$，而$I_{\text{enc}}$是$I$；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面$\mathbb{S} - \mathbb{L}$，而由于通过这任意曲面的电流是$0$，$I_{\text{enc}}$是$0$。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。

为了解决上述难题，安培定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律。

位移电流

主条目：位移电流

在自由空间内，位移电流跟电场随着时间的变化率有关；而在电介质内，上述贡献仍旧存在，但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质，感受到外电场的作用，分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此，正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离，造成电极化的增加，这可以用变量电极化强度$P$来表达。电极化强度随着时间的变化所产生的效应就是电极化电流。

位移电流密度$\mathbf{J}_D$定义为

$\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}$；

其中，$\mathbf{D}$是电位移，定义为

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$；

其中，$\varepsilon_0$是电常数，$\mathbf{P}$是电极化强度。

所以，位移电流密度分为两个部分：

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。

这方程右手边的第一个项目是麦克斯韦修正项目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。麦克斯韦修正项目并不涉及任何真实的电荷运动，但是，它描述一个含时电场的物理行为，就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度，与电介质内单独分子的极化性有关。

原本定律的延伸：麦克斯韦-安培方程

将麦克斯韦修正项目加入安培方程：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ ;

或者，使用H场$\mathbf{H}$和位移电流$\mathbf{D}$来表达，

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$。

这就是麦克斯韦-安培方程，可以补救原本安培定律的限制。

假若使用B场$\mathbf{B}$的麦克斯韦-安培方程，由于习惯，时常会称$\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$项目为位移电流密度。由于增添了位移电流，麦克斯韦能够推论（正确地）光波是一种电磁波（请参阅电磁波条目）。

等价证明

麦克斯韦-安培方程的等价证明

这里证明方程 $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。 等价于方程 $\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$， 注意到只处理微分形式，而不处理积分形式。但这已足够了。因为，根据开尔文-斯托克斯定理，微分形式等价于积分形式。 回想电位移的定义式为 $\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$。 还有，$\mathbf{H}$的定义式为 $\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}$。 将这两个定义式代入H场$\mathbf{H}$的麦克斯韦-安培方程， $\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \right)= \mathbf{J}_f + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$。 经过一番运算，可以得到 $\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \right)= \mathbf{J}_f +\nabla\times\mathbf{M}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}= \mathbf{J}_f +\mathbf{J}_M +\mathbf{J}_P + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。 稍加整理，即可得到磁场$\mathbf{B}$的麦克斯韦-安培方程 $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$。

CGS单位制的安培方程

采用CGS单位制，安培方程的积分形式，包括麦克斯韦修正项目，可以写为

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$；

其中，$c$是光速。

其微分形式可以写为

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$。

参见

• 电荷守恒定律

外部链接

• Morgan, Kirby. 安培定律 (PDF). Project PHYSNET. [2009-08-08]. 
• Smith, Walter Fox. 安培定律之歌 (PDF). PhysicsSongs.org. [2009-08-08].