在这篇文章内,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。
卡尔·高斯
在电磁学 里,高斯磁定律 阐明,磁场 (B场)的散度 等于零。因此,磁场是一个螺线矢量场 。从这事实,可以推断磁单极子 不存在。磁的基本实体是磁偶极子 ,而不是磁荷 。当然,假若将来科学家发现有磁单极子存在,那么,这定律就必须做适当的修改,如稍后论述。高斯磁定律是因德国物理学者卡尔·高斯 而命名。
在物理学界,很多学者使用“高斯磁定律”来指称这定律,但并不是每一位学者都采用这名字。有些作者称它为“自由磁单极子缺失”[1] ,或明确地表示这定律没有取名字[2] 。还有些作者称此定律为“横向性要求”[3] ,因为在真空 中或线性介质 中传播的电磁波 必须是横波 。
理论方程形式
闭曲面与开放曲面示意图。左边是闭曲面例子,包括球面 、环面 和立方体面 ;穿过这些曲面的磁通量 等于零。右边是开放曲面,包括圆盘面 、正方形面 和半球面 ;都具有边界(以红色显示),不完全围入三维体积。穿过这些曲面的磁通量 不一定等于零。
高斯磁定律的方程可以写为两种形式:微分形式和积分形式。根据散度定理 ,这两种形式为等价的。
高斯磁定律的微分形式为
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B} = 0\,\!}
;
其中,
B
{\displaystyle \mathbf{B}\,\!}
是磁感应强度 。
这是马克士威方程组 中的一个方程。
高斯磁定律的积分形式为
∯
{\displaystyle \oiint}
S
{\displaystyle {\mathbb S}}
B
⋅
d
s
=
0
{\displaystyle \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{s}=0 }
其中,
S
{\displaystyle \mathbb{S}\,\!}
是一个闭曲面,
d
s
{\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{s}\,\!}
是微小面积分(请参阅曲面积分 )。
这方程的左手边项目,称为通过闭曲面的净磁通量 。高斯磁定律阐明这净磁通量永远等于零。
磁矢量势
根据亥姆霍兹分解 (Helmholtz decomposition ),因为磁场的散度等于零,必定存在有矢量场
A
{\displaystyle \mathbf{A}\,\!}
满足条件
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,\!}
。
这矢量场
A
{\displaystyle \mathbf{A}\,\!}
称为磁矢量势 。
请注意并不是只有一个矢量场
A
{\displaystyle \mathbf{A}\,\!}
满足这条件。实际上,有无限多个解答。应用一项矢量恒等式 ,
∇
×
(
∇
ϕ
)
=
0
{\displaystyle \nabla\times(\nabla \phi)=0\,\!}
,
给予任意函数
ϕ
{\displaystyle \phi\,\!}
,那么,
A
=
A
+
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\phi\,\!}
也是一个解答。磁矢量势的这种特性,称为规范自由 。
磁场线
透过铁粉显示出的磁场线 。将条状磁铁放在白纸下面,铺洒一堆铁粉在白纸上面,这些铁粉会依著磁场线 的方向排列,形成一条条的曲线,在曲线的每一点显示出磁场线的方向。
磁场,就像任何矢量场,可以用场线 来描绘其轨迹。磁场线是一组曲线,其方向对应于磁场的方向,其面密度与磁场的大小成正比。因为磁场的散度等于零,磁场线没有初始点,也没有终结点。磁场线或者形成一个闭回圈,或者两个端点都延伸至无穷远。
磁单极子
假若,有科学家发现磁单极子存在于宇宙,则高斯磁定律不正确,必须修正。磁场的散度会与磁荷密度
ρ
m
{\displaystyle \rho_m\,\!}
成正比[1] :
∇
⋅
B
=
μ
0
ρ
m
{\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_0\rho_m\,\!}
。
其中,
μ
0
{\displaystyle \mu_0\,\!}
是磁常数 。
必欧-萨伐尔定律
从必欧-萨伐尔定律,可以推导出高斯磁定律。必欧-萨伐尔定律阐明,设定电流密度
J
(
r
′
)
{\displaystyle \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\!}
,则磁场为
B
(
r
)
=
μ
0
4
π
∫
V
′
d
3
r
′
J
(
r
′
)
×
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} d^3r' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,\!}
;
其中,
r
′
{\displaystyle \mathbf{r}'\,\!}
是源位置,
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
是场位置,
V
′
{\displaystyle \mathbb{V}'\,\!}
是积分的体积,
d
3
r
′
{\displaystyle d^3 r'\,\!}
是微小体积元素。
应用一项矢量恒等式 ,
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
=
−
∇
(
1
|
r
−
r
′
|
)
{\displaystyle \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)\,\!}
,
将这恒等式带入必欧-萨伐尔方程。由于梯度 只作用于无单撇号的坐标,可以移到积分外,改为旋度 :
B
(
r
)
=
μ
0
4
π
∇
×
∫
V
′
d
3
r
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} d^3r' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!}
。
应用一项矢量恒等式 ,
∇
⋅
(
∇
×
A
)
=
0
{\displaystyle \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\,\!}
。
所以,高斯磁定律成立:
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!}
。
参阅
参考文献