在这篇文章内,向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。 检验变数或场变数 的标记的后面没有单撇号“
′
{\displaystyle '\,\!}
”;源变数的标记的后面有单撇号“
′
{\displaystyle '\,\!}
”。
艾密·维谢
在电动力学 里,李纳-维谢势 指的是移动中的带电粒子 的推迟势 。从麦克斯韦方程组 ,可以推导出李纳-维谢势;而从李纳-维谢势,又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场 。但是,李纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为 。
阿弗雷-玛丽·李纳 于1898年,艾密·维谢 于1900年,分别独立地研究求得李纳-维谢势的公式[1] [2] 。于1995年,Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子 和四极子 的推迟势[3] 。
历史重要性
经典电动力学的研究,关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦 发展出相对论 。爱因斯坦细心地分析李纳-维谢势和电磁波 传播,所累积的心得,引领他想出在狭义相对论 里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台,使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。
虽然经典电动力学表述的李纳-维谢势,可以很准确地描述,独立移动中的带电粒子 的物理行为,但是在原子 层次,这表述遭到严峻的考验,无法给出正确地答案。为此缘故,物理学家感到异常困惑,因而引发了量子力学 的创立
对于粒子发射电磁辐射 的能力,量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述,表达于李纳-维谢势的方程,明显地违背了实验观测到的现象。例如,经典电动力学表述所预测的,环绕着原子不停运动的电子 ,由于连续不断地呈加速度状态,应该会不停地发射电磁辐射;但是,实际实验观测到的现象是,稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证,物理学家发现,电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散 能级 的跃迁 (参阅玻尔原子 )。在二十世纪后期,经过多年的改进与突破,量子电动力学 成功地解释了带电粒子的放射行为。
物理理论
带电粒子的移动轨道。
假设,从源头位置
r
′
{\displaystyle \mathbf{r}'\,\!}
往检验位置
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
发射出一束电磁波,而这束电磁波在检验时间
t
{\displaystyle t\,\!}
抵达观测者的检验位置
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
,则这束电磁波发射的时间是推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
。由于电磁波 传播于真空 的速度是有限的,观测者检验到电磁波的检验时间
t
{\displaystyle t\,\!}
,会不同于这电磁波发射的推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
。推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
定义为检验时间
t
{\displaystyle t\,\!}
减去电磁波 传播的时间:
t
r
=
d
e
f
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}\,\!}
;
其中,
c
{\displaystyle c\,\!}
是光速 。
推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置,需要一段传播期间,称为时间延迟 。与日常生活的速度来比,电磁波传播的速度相当快。因此,对于小尺寸系统,这时间延迟,通常很难察觉。例如,从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼,所经过的时间延迟,只有几兆分之一秒。但是,对于大尺寸系统,像太阳照射阳光到地球,时间延迟大约为8分钟,可以经过实验侦测察觉。
表达方程
假设,一个移动中的带电粒子,所带电荷为
q
{\displaystyle q\,\!}
,随着时间
t
{\displaystyle t\,\!}
而改变的运动轨道为
w
(
t
)
{\displaystyle \mathbf{w}(t)\,\!}
。设定矢量
R
{\displaystyle \boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\!}
为从带电粒子位置
r
′
=
w
(
t
)
{\displaystyle \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\!}
到检验位置
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
的分离矢量:
R
=
r
−
r
′
=
r
−
w
(
t
)
{\displaystyle \boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!}
。
则李纳-维谢标势
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!}
和李纳-维谢矢势
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!}
分别以方程表达为
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
q
c
R
c
−
R
⋅
v
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!}
、
A
(
r
,
t
)
=
v
c
2
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t)
\,\!}
;
其中,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon_0\,\!}
是真空电容率 ,
v
{\displaystyle \mathbf{v}\,\!}
是带电粒子的移动速度,
v
(
t
)
=
d
w
d
t
{\displaystyle \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!}
。
虽然李纳-维谢标势
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!}
和李纳-维谢矢势
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!}
的时间参数是
t
{\displaystyle t\,\!}
,方程右手边的几个变数,带电粒子位置
r
′
{\displaystyle \mathbf{r}'\,\!}
和速度
v
{\displaystyle \mathbf{v}\,\!}
都是采推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
时的数值:
r
′
=
w
(
t
r
)
{\displaystyle \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!}
、
v
=
v
(
t
r
)
{\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!}
。
推导
从推迟势 ,可以推导出李纳-维谢势。推迟标势
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!}
与推迟矢势
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\!}
分别以方程定义为(参阅推迟势 )
Φ
(
r
,
t
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
r
)
R
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!}
、
A
(
r
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
,
t
r
)
R
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!}
;
其中,
ρ
(
r
′
,
t
r
)
{\displaystyle \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\!}
和
J
(
r
′
,
t
r
)
{\displaystyle \mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\!}
分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度,
V
′
{\displaystyle \mathcal{V}'\,\!}
是积分的体空间,
d
3
r
′
{\displaystyle d^3\mathbf{r}'\,\!}
是微小体元素,
R
{\displaystyle \mathfrak{R}\,\!}
矢量还是采推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
时的数值。
带电粒子运动轨道的电荷密度 可以用狄拉克δ函数 表达为
ρ
(
r
,
t
)
=
q
δ
(
r
−
w
(
t
)
)
{\displaystyle \rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!}
;
其中,
δ
(
r
−
w
(
t
)
)
{\displaystyle \delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!}
是狄拉克δ函数。
代入推迟标势
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!}
的方程,
Φ
(
r
,
t
)
=
q
4
π
ϵ
0
∫
V
′
δ
(
r
′
−
w
(
t
r
)
)
R
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!}
。
由于狄拉克δ函数
δ
(
r
′
−
w
(
t
r
)
)
{\displaystyle \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\!}
的积分会从
r
′
{\displaystyle \mathbf{r}'\,\!}
的可能值中,挑选出当
r
′
=
w
(
t
r
)
{\displaystyle \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!}
时,所有变数的数值。所以,在积分内的变数,都可以被提出积分,采推迟时间
r
′
=
w
(
t
r
)
{\displaystyle \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!}
时所计算出的数值。积分内,只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理:
Φ
(
r
,
t
)
=
q
4
π
ϵ
0
R
∫
V
′
δ
(
r
′
−
w
(
t
r
)
)
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!}
。
由于推迟时间
t
r
{\displaystyle t_r\,\!}
跟三个变数
t
{\displaystyle t\,\!}
、
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
、
r
′
{\displaystyle \mathbf{r}'\,\!}
有关,这积分比较难计算,需要使用换元积分法 [4] 。设定变数
η
=
r
′
−
w
(
t
r
)
{\displaystyle \boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\!}
。那么,其雅可比行列式
J
{\displaystyle \mathfrak{J}\,\!}
为
J
=
∂
η
∂
r
′
=
|
∂
η
x
∂
x
′
∂
η
x
∂
y
′
∂
η
x
∂
z
′
∂
η
y
∂
x
′
∂
η
y
∂
y
′
∂
η
y
∂
z
′
∂
η
z
∂
x
′
∂
η
z
∂
y
′
∂
η
z
∂
z
′
|
{\displaystyle \mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'}
=\begin{vmatrix}
\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\
\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\
\cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\
\end{vmatrix}\,\!}
。
行列式内分量很容易计算,例如:
∂
η
x
∂
x
′
=
1
−
∂
w
x
∂
x
′
=
1
−
∂
w
x
∂
t
r
∂
t
r
∂
x
′
=
1
−
v
x
∂
t
r
∂
x
′
{\displaystyle \cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!}
、
∂
η
y
∂
x
′
=
∂
w
y
∂
x
′
=
∂
w
y
∂
t
r
∂
t
r
∂
x
′
=
v
y
∂
t
r
∂
x
′
{\displaystyle \cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!}
。
按照上述方法,经过一番计算,可以得到
J
=
1
−
v
⋅
∇
′
t
r
=
1
−
R
^
⋅
v
/
c
{\displaystyle \mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!}
。
所以,推迟标势
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!}
的方程变为
Φ
(
r
,
t
)
=
q
4
π
ϵ
0
R
∫
V
′
δ
(
η
)
∂
r
′
∂
η
d
3
η
=
q
4
π
ϵ
0
R
∫
V
′
δ
(
η
)
J
d
3
η
=
q
4
π
ϵ
0
R
∫
V
′
δ
(
η
)
1
−
R
^
⋅
v
/
c
d
3
η
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta}
\,\!}
。
这样,可以得到李纳-维谢标势:
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
q
c
R
c
−
R
⋅
v
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!}
。
类似地,也可以推导出李纳-维谢矢势。
相对论性导引
从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度,而不依赖于源点的加速度,所以通过电磁势的洛仑兹变换 也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系,记作
S
′
{\displaystyle S^{\prime}}
。在
S
′
{\displaystyle S^{\prime}}
系中,电荷在推迟时刻的速度为零(虽然加速度未必为零),其标势应由库仑定律 给出,矢势为零。[5] [6] :165ff
ϕ
′
=
q
4
π
ϵ
0
R
′
{\displaystyle \phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}}
、
A
′
=
0
{\displaystyle A'=0}
。
标势和矢势从
S
′
{\displaystyle S^{\prime}}
系到
S
{\displaystyle S}
系的变换满足洛仑兹变换:
ϕ
=
γ
(
ϕ
′
−
c
β
A
′
)
{\displaystyle \phi=\gamma (\phi'- c\beta A')}
、
A
=
γ
(
−
A
′
+
β
ϕ
′
/
c
)
{\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta\phi' /c)}
;
其中,
γ
{\displaystyle \gamma}
是洛仑兹因子 ,
β
=
v
/
c
{\displaystyle \boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c}
。
代入后可以得到:
ϕ
=
γ
q
4
π
ϵ
0
R
′
{\displaystyle \phi =\frac{\gamma q}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'}}
、
A
=
γ
q
β
4
π
ϵ
0
R
′
c
{\displaystyle \boldsymbol{A}=\frac{\gamma q \boldsymbol{\beta}}{4\pi\epsilon_0 \mathfrak{R}'c}}
。
R
′
{\displaystyle \mathfrak{R}'}
和
R
{\displaystyle \mathfrak{R}}
的变换关系也由洛仑兹变换给出:
R
′
=
c
Δ
t
′
=
c
γ
(
Δ
t
−
β
⋅
R
/
c
)
=
γ
(
R
−
β
⋅
R
)
{\displaystyle \mathfrak{R}'=c\Delta t'=c\gamma(\Delta t - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}}/c)=\gamma(\mathfrak{R} - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\mathfrak{R}})}
将
R
′
{\displaystyle \mathfrak{R}'}
的表达式代入即得到李纳-维谢势。
物理意义
对于固定不动的带电粒子,电势的方程为
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
q
R
{\displaystyle \Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!}
。
这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子
J
{\displaystyle \mathfrak{J}\,\!}
。追根究柢,原因是移动中的带电粒子,虽然理论上是点粒子,但是由于它是在移动中,在积分里所占有的体积显得比较大,所带的电荷因此比较多,所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应 。[5]
移动中的带电粒子的电磁场
从李纳-维谢势,可以计算电场
E
{\displaystyle \mathbf{E}\,\!}
和磁场
B
{\displaystyle \mathbf{B}\,\!}
:
E
=
−
∇
Φ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf{E} = - \nabla \Phi - \dfrac {\partial \mathbf{A}} { \partial t } \,\!}
、
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\!}
。
求得的电场
E
{\displaystyle \mathbf{E}\,\!}
和磁场
B
{\displaystyle \mathbf{B}\,\!}
分别为[7]
E
(
r
,
t
)
=
q
4
π
ϵ
0
R
(
R
⋅
u
)
3
[
(
c
2
−
v
2
)
u
+
R
×
(
u
×
a
)
]
{\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3}
[(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!}
、
B
(
r
,
t
)
=
1
c
R
^
×
E
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\!}
;
其中,矢量
u
{\displaystyle \mathbf{u}\,\!}
设定为
c
R
^
−
v
{\displaystyle c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\!}
,带电粒子的加速度 是
a
=
d
v
d
t
{\displaystyle \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!}
。
检查电场
E
{\displaystyle \mathbf{E}\,\!}
的方程,右边第一项称为广义库仑场 ,又称为速度场 ,因为这项目与加速度无关。当
v
≪
c
{\displaystyle v\ll c\,\!}
,粒子速度超小于光速时,
u
→
c
R
^
{\displaystyle \mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\!}
,这项目会趋向库仑方程 :
E
=
q
4
π
ϵ
0
R
^
R
2
{\displaystyle \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!}
。
右边第二项称为辐射场 ,又称为加速度场 ,因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射 的生成程序。
参阅
参考文献
↑ Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard , Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 [2009-10-17 ]
↑
Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert(1861–1928): Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287
↑ Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972
↑ Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117
↑ 5.0 5.1 俞允强. 《电动力学简明教程》. 北京大学出版社. 1999: p298.
↑ Bo Thide. Electromagnetic Field Theory . Dover Publications, Incorporated. 2011-03-17 [2016-06-26 ] . ISBN 978-0-486-47773-2 .
↑ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X .